問23:非過剰数和

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今回の問題

Non-abundant sums

A perfect number is a number for which the sum of its proper divisors is exactly equal to the number. For example, the sum of the proper divisors of 28 would be 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, which means that 28 is a perfect number.

A number n is called deficient if the sum of its proper divisors is less than n and it is called abundant if this sum exceeds n.

As 12 is the smallest abundant number, 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, the smallest number that can be written as the sum of two abundant numbers is 24. By mathematical analysis, it can be shown that all integers greater than 28123 can be written as the sum of two abundant numbers. However, this upper limit cannot be reduced any further by analysis even though it is known that the greatest number that cannot be expressed as the sum of two abundant numbers is less than this limit.

Find the sum of all the positive integers which cannot be written as the sum of two abundant numbers.

完全数とは, その数の真の約数の和がそれ自身と一致する数のことである. たとえば, 28の真の約数の和は, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 であるので, 28は完全数である.

真の約数の和がその数よりも少ないものを不足数といい, 真の約数の和がその数よりも大きいものを過剰数と呼ぶ.

12は, 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 となるので, 最小の過剰数である. よって2つの過剰数の和で書ける最少の数は24である. 数学的な解析により, 28123より大きい任意の整数は2つの過剰数の和で書けることが知られている. 2つの過剰数の和で表せない最大の数がこの上限よりも小さいことは分かっているのだが, この上限を減らすことが出来ていない.

2つの過剰数の和で書き表せない正の整数の総和を求めよ.

書いた内容

真の約数の和と過剰数判定のテスト

Integerクラスに対して真の約数の和を返り値とする sum_of_proper_divisors メソッドを期待してテストを仮で記載しました。
また、過剰数であるかどうかを真偽値で返す abundant? メソッドも仮で記載しました。

require 'minitest/autorun'
require './problem'

require 'minitest/reporters'
Minitest::Reporters.use!

class ProblemTest < Minitest::Test
  def test_sorted_names_array
    assert_equal 28, 28.sum_of_proper_divisors
    assert_equal false, 28.abundant?
    assert_equal 16, 12.sum_of_proper_divisors
    assert_equal true, 12.abundant?
    assert_equal 1, 1.sum_of_proper_divisors
  end
end

テストを通すようにメソッドを以下のように定義しました。

sum_of_proper_divisors メソッドの if の中身は 友愛数の総和を求めるメソッドをテスト駆動開発する(Project Euler 問21) で作ったものを再利用していますので詳しい説明はそちらを見てください。

abundant?メソッドは題意の「真の約数の和がその数よりも大きいものを過剰数と呼ぶ」を不等式にしただけです。

これでテストは通ります。

require 'prime'

class Integer
  def sum_of_proper_divisors
    if self != 1
      sum_of_divisors = Prime.prime_division(self).map do |n, i|
        (n**(i + 1) - 1) / (n - 1)
      end
      sum_of_divisors.inject(:*) - self
    else
      1
    end
  end

  def abundant?
    sum_of_proper_divisors > self
  end
end

2つの過剰数の和で書き表せない正の整数の総和を求めるメソッドのテスト

始点と終点を引数に持つ answer メソッドの返り値が、2つの過剰数の和で書き表せない正の整数の総和であることを期待します。
問題文から 24 が一番小さい2つの過剰数の和で書き表せない正の整数となるので、answer(1, 23) と answer(1, 24) は同じ結果になるはずです。

class ProblemTest < Minitest::Test
  略

  def test_answer_method
    sum = answer(1, 23)
    assert_equal sum, answer(1, 24)
  end
end

テストを通すようにメソッドを以下のように定義しました。

2つの過剰数の和で書き表せない正の整数の総和は

  • 始点〜終点の範囲にある過剰数を洗い出す
  • 洗い出した過剰数同士の和の結果を計算する
  • その結果に重複が含まれる場合は除外する

によって、2つの過剰数の和で書き表せる正の整数が求まるので
全体からこれらを除外した残りの数を足し上げれば求めることが出来ます。

def answer(from, to)
  abundants = (from..to).select(&:abundant?)

  sum_of_two_abundants = []
  abundants.each_with_index do |n, i|
    abundants[i..abundants.length].each do |other|
      sum_of_two_abundants << n + other
    end
  end

  sum_of_two_abundants.uniq!

  (from..to).reject { |n| sum_of_two_abundants.include?(n) }.inject(:+)
end

これでテストは通ります。

最終解

puts answer(1, 28_123)
#=> 4179871

最終的な答えは 4179871 と出すことが出来ました。

※問23ブランチのプルリクエスト

          
    

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